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第一篇 复变函数论3

第一章 复数与复变函数3

第一节 复数3

1.1.1 复数域3

1.1.2 复平面4

1.1.3 复数的模与辐角5

1.1.4 复数的乘幂与方根7

第二节 复变函数的基本概念9

1.2.1 区域与若尔当曲线9

1.2.2 复变函数的概念11

1.2.3 复变函数的极限与连续性13

第三节 复球面与无穷远点14

1.3.1 复球面14

1.3.2 闭平面上的几个概念15

习题一16

第二章 解析函数19

第一节 解析函数的概念及柯西-黎曼条件19

2.1.1 导数与微分19

2.1.2 柯西-黎曼条件20

2.1.3 解析函数的定义24

第二节 解析函数与调和函数的关系25

2.2.1 共轭调和函数的求法25

2.2.2 共轭调和函数的几何意义27

第三节 初等解析函数29

2.3.1 初等单值函数29

2.3.2 初等多值函数32

第四节 解析函数在平面场中的应用40

2.4.1 平面场40

2.4.2 复位势41

2.4.3 例44

习题二47

第三章 柯西定理 柯西积分51

第一节 复变积分的概念及其简单性质51

3.1.1 复变积分的定义及其计算方法51

3.1.2 复变积分的简单性质54

第二节 柯西积分定理及其推广55

3.2.1 柯西积分定理55

3.2.2 不定积分56

3.2.3 柯西积分定理推广到复围线的情形59

第三节 柯西积分公式及其推广61

3.3.1 柯西积分公式61

3.3.2 解析函数的无限次可微性63

3.3.3 模的最大值原理 柯西不等式 刘维尔定理 莫雷拉定理66

习题三68

第四章 解析函数的幂级数表示71

第一节 函数项级数的基本性质71

4.1.1 数项级数71

4.1.2 一致收敛的函数项级数72

第二节 幂级数与解析函数76

4.2.1 幂级数的敛散性76

4.2.2 解析函数的幂级数表示80

4.2.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理84

第三节 洛朗级数86

4.3.1 洛朗级数的收敛圆环86

4.3.2 解析函数的洛朗展式87

4.3.3 洛朗展式举例89

第四节 单值函数的孤立奇点92

4.4.1 孤立奇点的三种类型92

4.4.2 可去奇点93

4.4.3 极点95

4.4.4 本性奇点96

4.4.5 解析函数在无穷远点的性质96

习题四99

第五章 留数及其应用103

第一节 留数103

5.1.1 留数的定义及留数定理103

5.1.2 留数的求法106

5.1.3 无穷远点的留数109

第二节 利用留数计算实积分111

5.2.1 ∫2π 0R（cos θ，sin θ）dθ的计算111

5.2.2 积分路径上无奇点的反常积分∫+∞ -∞∫（x）dx的计算114

5.2.3 积分路径上有奇点的反常积分的计算119

5.2.4 杂例121

5.2.5 多值函数的积分124

第三节 辐角原理及其应用128

5.3.1 对数留数128

5.3.2 辐角原理129

5.3.3 鲁歇定理131

习题五132

第六章 保形变换136

第一节 解析变换的特性136

6.1.1 单叶变换136

6.1.2 解析函数的保角性137

6.1.3 拉普拉斯算符的变换141

第二节 分式线性变换142

6.2.1 几种最简单的保形变换142

6.2.2 分式线性变换144

6.2.3 分式线性变换的保交比性146

6.2.4 分式线性变换的保圆周性147

6.2.5 分式线性变换的保对称点性147

6.2.6 分式线性变换的应用149

第三节 某些初等函数所构成的保形变换151

6.3.1 幂函数与根式函数151

6.3.2 指数函数与对数函数153

6.3.3 茹科夫斯基函数155

习题六156

第二篇 数学物理方程163

第七章 一维波动方程的傅里叶解163

第一节 一维波动方程——弦振动方程的建立163

7.1.1 弦振动方程的建立163

7.1.2 定解条件的提出165

第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解168

7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题168

7.2.2 傅里叶解的物理意义173

第三节 电报方程176

第四节 非齐次方程的求解178

习题七181

第八章 热传导方程的傅里叶解185

第一节 热传导方程和扩散方程的建立185

8.1.1 热传导方程的建立185

8.1.2 扩散方程的建立187

8.1.3 定解条件的提出189

第二节 混合问题的傅里叶解190

第三节 初值问题的傅里叶解192

8.3.1 傅里叶积分192

8.3.2 利用傅里叶积分解热传导方程的初值问题194

8.3.3 傅里叶解的物理意义196

第四节 一端有界的热传导问题199

8.4.1 定解问题的解199

8.4.2 举例202

8.4.3 齐次化原理206

习题八209

第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的傅里叶解212

第一节 圆的狄利克雷问题212

9.1.1 定解问题的提法212

9.1.2 定解问题的傅里叶解法213

第二节 δ函数217

9.2.1 δ函数的引入217

9.2.2 δ函数的性质218

9.2.3 δ函数的数学理论简介220

9.2.4 高维空间中的δ函数及δ函数的其他性质223

习题九225

第十章 波动方程的达朗贝尔解228

第一节 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法228

10.1.1 达朗贝尔解的推出228

10.1.2 达朗贝尔解的物理意义230

10.1.3 举例231

10.1.4 依赖区间 决定区域和影响区域233

10.1.5 半无界弦问题235

第二节 高维波动方程236

10.2.1 三维波动方程的初值问题236

10.2.2 降维法239

10.2.3 解的物理意义240

第三节 非齐次波动方程 推迟势243

10.3.1 非齐次波动方程的初值问题243

10.3.2 非线性方程245

习题十246

第十一章 拉普拉斯方程（续）250

第一节 格林公式 调和函数的基本性质250

11.1.1 球对称解250

11.1.2 格林公式251

11.1.3 调和函数的基本性质253

第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷问题259

11.2.1 边值问题的提法259

11.2.2 球的狄利克雷问题259

11.2.3 狄利克雷外问题263

第三节 格林函数264

11.3.1 格林函数的定义264

11.3.2 用电像法作格林函数267

11.3.3 格林函数的对称性270

11.3.4 保形变换法272

第四节 泊松方程274

11.4.1 泊松方程的导出274

11.4.2 泊松方程的狄利克雷问题275

习题十一276

第十二章 傅里叶变换278

第一节 傅里叶变换的定义及其基本性质278

12.1.1 傅里叶变换的定义278

12.1.2 傅里叶变换的基本性质279

12.1.3 n维傅里叶变换281

12.1.4 δ函数的傅里叶变换282

第二节 用傅里叶变换解数理方程举例283

第三节 格林函数法（续）285

12.3.1 方程的基本解285

12.3.2 齐次方程定解问题的格林函数291

12.3.3 非定常型非齐次方程的格林函数298

习题十二302

第十三章 拉普拉斯变换304

第一节 拉普拉斯变换的定义和它的逆变换304

13.1.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换304

13.1.2 拉普拉斯变换的定义305

13.1.3 拉普拉斯变换的存在定理和反演定理306

第二节 拉普拉斯变换的基本性质及其应用举例309

第三节 展开定理321

13.3.1 展开定理321

13.3.2 用反演公式解数理方程举例323

习题十三328

第十四章 定解问题的适定性 方程的讨论331

第一节 弦振动方程初值问题的适定性332

第二节 弦振动方程混合问题的适定性334

14.2.1 解的存在性334

14.2.2 能量积分和解的唯一性336

第三节 狄利克雷问题的适定性338

14.3.1 解的唯一性338

14.3.2 解的稳定性339

第四节 热传导方程混合问题的适定性340

14.4.1 极值原理340

14.4.2 解的唯一性341

14.4.3 解的稳定性342

第五节 热传导方程初值问题的适定性343

14.5.1 解的唯一性和稳定性343

14.5.2 解的存在性345

第六节 拉普拉斯方程狄利克雷外问题解的唯一性347

14.6.1 三维空间狄利克雷外问题解的唯一性347

14.6.2 二维空间狄利克雷外问题解的唯一性348

第七节 定解问题不适定之例350

14.7.1 不适定问题举例350

14.7.2 对不适定问题的研究352

第八节 三类方程的比较353

14.8.1 关于定解问题的提法354

14.8.2 关于解的性质354

14.8.3 关于时间的反演356

第九节 二阶线性偏微分方程的分类358

第十节 线性偏微分方程的叠加原理361

习题十四363

第三篇 特殊函数367

第十五章 勒让德多项式 球函数367

第一节 勒让德微分方程及勒让德多项式367

15.1.1 勒让德微分方程的导出367

15.1.2 幂级数解和勒让德多项式的定义369

15.1.3 勒让德多项式的微分表达式——罗德里格斯公式375

15.1.4 勒让德多项式的施拉夫利积分表达式375

第二节 勒让德多项式的母函数及其递推公式377

15.2.1 勒让德多项式的母函数377

15.2.2 勒让德多项式的递推公式379

第三节 按勒让德多项式展开380

15.3.1 勒让德多项式的正交性381

15.3.2 勒让德多项式的归一性381

15.3.3 展开定理的叙述383

第四节 连带勒让德多项式383

15.4.1 连带勒让德多项式的定义383

15.4.2 连带勒让德多项式的正交性和归一性385

第五节 拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题386

15.5.1 利用连带勒让德多项式Pm n（x）得出方程（15.1′）的解386

15.5.2 确定定解问题（15.1′）和（15.2′）的解387

习题十五390

第十六章 贝塞尔函数 柱函数392

第一节 贝塞尔微分方程及贝塞尔函数392

16.1.1 贝塞尔微分方程的导出392

16.1.2 幂级数解和贝塞尔函数的定义393

第二节 贝塞尔函数的母函数及其递推公式397

16.2.1 贝塞尔函数的母函数397

16.2.2 贝塞尔函数的积分表达式398

16.2.3 贝塞尔函数的递推公式399

16.2.4 半奇数阶贝塞尔函数400

第三节 按贝塞尔函数展开402

16.3.1 贝塞尔函数的零点403

16.3.2 贝塞尔函数的正交性403

16.3.3 贝塞尔函数的归一性404

16.3.4 展开定理的叙述405

16.3.5 圆膜振动问题405

第四节 第二类和第三类贝塞尔函数408

16.4.1 第二类贝塞尔函数408

16.4.2 第三类贝塞尔函数410

16.4.3 球贝塞尔函数411

第五节 变形（或虚变量）贝塞尔函数和贝塞尔函数的渐近公式413

16.5.1 变形贝塞尔函数413

16.5.2 贝塞尔函数的渐近公式416

16.5.3 可以化为贝塞尔方程的微分方程418

习题十六423

第十七章 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式426

第一节 埃尔米特多项式426

17.1.1 埃尔米特微分方程的导出426

17.1.2 幂级数解和埃尔米特多项式的定义427

17.1.3 埃尔米特多项式的母函数429

17.1.4 埃尔米特多项式的正交性和归一性429

第二节 拉盖尔多项式431

17.2.1 拉盖尔微分方程的导出431

17.2.2 幂级数解和拉盖尔多项式的定义431

17.2.3 拉盖尔多项式的母函数433

17.2.4 拉盖尔多项式的正交性和归一性434

第三节 特征值和特征函数435

17.3.1 特征值和特征函数的概念435

17.3.2 特征值和特征函数的性质436

17.3.3 施图姆-刘维尔型微分方程边值问题的例子437

习题十七439

附录（Ⅰ）440

傅里叶变换表440

拉普拉斯变换表441

附录（Ⅱ）445

小波变换简介445

习题答案449

外国人名表465