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第一部分 反问题概述和基本知识1

第一章 绪论3

1.1 反问题的基本概念及事例3

图1.1 Abel曲线示意图8

图1.2 农田灌溉截面图10

图1.3 重力测定原理图12

图1.5 反问题原理图13

图1.4 正问题原理图13

1.2 反问题的不适定性13

1.3 变分正则化方法14

1.4 反演问题研究现状和进展15

2.1 最优化理论与方法17

第二章 数学基础17

2.2 有关算子理论的主要结果20

2.3 紧算子、奇异系统与奇异值分解23

2.4 最小二乘与正则化26

2.5 采样定理28

第二部分 线性反问题的理论和方法31

3.1.1 直接法33

3.1 求解非齐次线性系统的基本方法33

第三章 线性反问题的数值方法33

3.1.2 迭代法34

3.2 病态系统与离散正则化37

3.3 适应性正则化方法38

3.3.1 引言38

3.3.2 适应性正则化的收敛性39

3.3.3 α-滤波算子40

3.3.4 先验原则下适应性正则化方法的收敛速度41

3.3.5 后验原则下适应性正则化方法的收敛速度43

3.4 迭代正则化方法45

3.4.1 迭代Tikhonov正则化方法45

3.4.2 基于全变差（TV）的非光滑正则化方法47

3.4.3 最速下降法与BB法49

3.4.4 Landweber-Fridman迭代法51

3.4.5 v-方法59

3.4.6 极小化余量法与GMRES方法60

3.5.1 算法的提出62

3.5 截断共轭梯度方法62

3.5.2 算法的收敛性66

3.5.3 算法的正则性71

3.6 Lanczos方法73

3.7 预条件迭代方法75

3.8 则参数选择方法76

图3.1 积分核K(x,s)=？精确解x(s)=？/0.9550408—0.052130913,x∈[-2,2],s∈[0,1]，实线表示真解，★线表示逼近解：（a）Newton法；（b）拟Newton法；（c）TPS方法；（d）QN+TPS81

图3.2 L-曲线示意图83

第四章 Lavrentiev正则化方法85

4.1 引言85

4.2 Lavrentiev正则化方法87

4.3.1 算法的提出87

4.3 迭代Lavrentiev正则化方法87

4.3.2 收敛性分析88

4.3.3 正则性分析90

4.4 对数字图像复原的应用93

图4.1 一个40×40的真实图像94

图4.3 相应于图4.2的3种情况下的恢复图像95

图4.2 不同误差水平下的模糊图像：左，δ=0.005；中，δ=0.01；右，δ=0.0595

4.5 进一步说明95

5.1 引言97

5.2 正则化方法97

第五章 矩问题的数值解法97

5.3.1 Banach空间中的算法描述100

5.3 软化法100

5.3.2 几个例子103

5.3.3 Backus-Gilbert方法104

第三部分 线性反演方法在相关领域的应用109

第六章 数字图像信息处理111

6.1 一般概述111

6.1.1 图像的光学处理111

6.1.2 图像的计算机处理112

6.2.1 连续图像与数字图像113

图6.1 连续图像与数字图像113

6.2 数字图像处理113

图6.2 一个简单的数字图像114

图6.3 图6.2的灰度直方图115

图6.4 图6.2的统计频数直方图115

6.2.2 直方图处理115

6.2.3 数字图像的增强处理116

6.2.4 图像的噪音与去噪119

6.2.5 彩色图像复原120

6.2.6 数字图像的分类120

6.2.7 数字图像的变换处理125

6.2.8 主成分分析（PCA）131

图6.6 PCA变换后的数据图示：左，第一和第二主成分数据图示；右，只保留第一主成分的数据图示134

图6.5 PCA变换前的数据图示：左，原始数据；右，第一和第二主成分方向134

6.2.9 独立成分分析（ICA）134

图6.8 接收的混叠信号135

图6.7 原始的语音信号135

6.2.10 基于计算全息（CGH）的图像再现技术136

图6.9 Fourier变换计算全息图的制作流程137

图6.10 再现Fourier变换计算全息图的光学系统138

图6.12 图6.11的Fourier谱138

图6.11 一个简单的测试图像138

图6.13 CGH编码图139

图6.14 计算机模拟再现图像139

6.2.11 数字图像处理系统139

7.1 问题的模型141

第七章 数字图像恢复问题141

图7.1 核函数精确给定时的图像恢复过程示意图142

图7.2 核函数非精确给定时的图像恢复过程示意图142

7.2 Kronecker积144

7.3 Fourier变换146

7.4 特殊矩阵148

7.5 噪音152

7.6 数值方法153

7.6.1 直接法153

7.6.2 正则化方法155

7.6.3 带信赖域技巧的共轭梯度（CG）法156

7.6.4 带信赖域技巧的Lanczos方法160

7.6.5 预条件处理162

7.6.6 其他分解方法164

7.7 一些数值结果165

图7.3 点扩展函数PSF168

图7.6 左：模糊图像；右：恢复的图像169

图7.5 左：模糊图像；右：恢复的图像169

图7.4 左：位相图；右：真实的图像169

图7.7 左：模糊图像；右：恢复的图像170

图7.8 不同加法噪音的计算余量对比170

图7.10 不同加法噪音的计算余量对比171

图7.9 不同加法噪音的计算余量对比171

图7.11 观测到的模糊的农田图像172

图7.12 恢复的农田图像172

8.2 描述图像纹理的SAR模型173

8.1 纹理的定义173

第八章 纹理特征分析问题173

8.3 最小二乘法（LSE）174

8.4.1 标准正则化（SR）175

8.4 正则化方法175

8.4.2 惩罚的最小二乘法（PLSE）176

8.4.3 全变差（TV）惩罚的最小二乘法177

8.5 数字图像纹理的分割178

图8.1 （0,0）像素的8像素相连邻域选取179

8.6 一些数值结果179

表8.1 由LSE、SR、PLSE和TVR算得的Brodatz纹理测试集部分纹理特征的模的结果180

表8.2 由LSE、SR、PLSE和TVR算得的Brodatz纹理测试集部分纹理特征的余量模的结果181

图8.2 由LSE和TVR对混合类纹理的分割结果，最大类别数认为是6182

图8.3 由LSE和TVR对混合类纹理的分割结果，最大类别数认为是6182

表8.3 由LSE和TVR算得的遥感图像纹理特征的模的结果…………………………18l表8.4 由LSE和TVR算得的遥感图像纹理特征的余量模的结果182

图8.6 由LSE和TVR对混合类纹理的分割结果，最大类别数认为是4183

图8.5 由LSE和TVR对混合类纹理的分割结果，最大类别数认为是5183

图8.7 由LSE和TVR对混合类纹理的分割结果，最大类别数认为是8183

图8.4 由LSE和TVR对混合类纹理的分割结果，最大类别数认为是4183

图8.8 用LSE和TVR对由ASAR获得的漏油图像的纹理分割结果184

图8.9 用LSE和TVR对从空中拍摄到的北京城市规划的一部分图像的纹理分割结果184

8.7 遥感图像的纹理特征184

图8.12 用LSE和TVR对由美国Landsat卫星获得的Denver的TM图像的纹理分割结果185

图8.11 用LSE和TVR对由IKONOS卫星获得的上海城市规划的一部分图像的纹理分割结果185

图8.10 由LSE和TVR对从ATSR获得的海湾图像的纹理分割结果185

8.8 进一步说明186

图8.14 用LSE和TVR对中国黄河口的MODIS图像的纹理分割结果，空间分辨率为500米186

图8.15 用LSE和TVR对中国黄河口的MODIS图像的纹理分割结果，空间分辨率为1公里186

图8.13 用LSE和TVR对中国黄河口的MODIS图像的纹理分割结果，空间分辨率为250米186

图8.16 用LSE和TVR对由NOAA17卫星获得的AVHRR图像的纹理分割结果187

9.1 基本概念188

第九章 带限信号的重构和外推问题188

9.2 经典方法回顾189

9.2.1 解析延拓法189

9.2.2 PSF方法190

9.2.3 Gerchberg-Papoulis算法191

9.2.4 一步外推法192

9.3 正则化方法192

9.4 复数域空间的截断SVD算法193

9.5 时域空间的截断SVD算法195

图9.2 （a）输入的原始图像；（b）该图像精确的频域信息；（c）带噪音的、残缺的频域信息；（d）图像的恢复结果204

图9.1 （a）输入的一维信号；（b）该信号精确的频域信息；（c）带噪音的、残缺的频域信息；（d）信号的重构结果204

10.1 预备知识206

第十章 支撑向量机（SVM）206

图10.1 根据样本进行学习的模型207

10.1.1 模式识别207

10.1.3 密度估计208

10.1.2 回归估计208

10.1.4 学习问题的泛函表示与ERM原则209

图10.2 学习曲线，lc为临界装载点（Critical Loading Point）210

10.1.5 SRM原则210

图10.3 学习曲线，lc为临界装载点（Critical Loading Point）211

10.2 VC维和VC界211

图10.4 生长函数G（l）当l≤h时呈指数增长；G（l）当l＞h时由h阶多项式界定212

10.3 SVM的基本概念及其计算方法213

10.3.1 训练数据线性可分情形的SV机213

10.3.2 训练数据线性不可分情形的SV机215

10.3.3 Mercer定理216

10.3.4 基于特征空间构造的SV机219

10.4 随机不适定问题——正则化方法220

第四部分 非线性反问题的理论和方法223

第十一章 非线性反问题的Newton型数值方法225

11.1 问题的模型及基本概念225

11.2 Tikhonov正则化方法227

11.3 正则化的Gauss-Newton型方法228

11.4 Levenberg-Marquardt方法234

11.5 信赖域方法236

11.5.1 基本假设236

11.5.2 信赖域方法237

11.5.3 信赖域算法的收敛性241

11.5.4 信赖域算法的正则性246

图11.1 有限维逼近的投影法图示248

11.5.5 信赖域算法的有限维逼近248

第十二章 非线性反问题的梯度型数值方法251

12.1 Landweber-Fridman迭代法251

12.2 最速下降法252

12.3 Newton-CG法254

12.4 截断共轭梯度法255

12.4.1 基本假设255

12.4.2 带信赖域技巧的截断共轭梯度法257

12.4.3 截断共轭梯度法的一些简单性质260

12.4.4 收敛性分析263

12.4.5 正则性分析266

12.5 梯度算子方法268

第五部分 非线性反演方法在相关领域的应用271

第十三章 重力测定问题273

13.1 问题的模型与不适定性273

图13.1 重力测定图273

13.2 假设检验275

13.3 有限维逼近与数值结果277

13.3.1 有限维逼近277

13.3.3 计算结果278

13.3.2 数值方法278

图13.3 细节点大扰动情况下的计算效果279

图13.2 粗节点小扰动情况下的计算效果279

14.1 问题的模型280

第十四章 热中子时间解谱问题280

图14.1 中子计数率-时间关系图282

14.2.2 模型的简化与约束优化283

14.2.1 最小二乘解析法283

14.2 热中子时间谱的解析方法283

图14.2 ？-α-τ关系图286

14.2.3 进一步说明288

15.1 问题的模型289

第十五章 PDE参数识别问题289

15.2 有限维逼近——信赖域算法290

15.3 伴随算法294

15.4 正则参数选取的Newton法295

15.5 一个数值例子296

图15.1 真实解与计算解的对比：真实解为虚线“---”，计算解为实线“＿”296

表15.1 信赖域算法误差水平的选取及计算所需的迭代步数297

图15.2 真实解与计算解的对比：真实解为虚线“---”，计算解为实线“＿”297

图15.3 真实解与计算解的对比：真实解为虚线“---”，计算解为实线“＿”298

图15.4 真实解与计算解的对比：真实解为虚线“---”，计算解为实线“＿”298

图15.5 真实解与计算解的对比：真实解为虚线“---”，计算解为实线“＿”298

表15.2 正则化方法误差水平的选取及计算所需的迭代步数299

第六部分 反演问题的最新进展301

16.1 反演方法303

第十六章 反演问题研究方法和应用303

16.1.1 数字图像处理的小波方法303

16.1.2 Monte Carlo型方法——模拟退火方法和遗传算法305

表16.1 生物遗传学基本概念与在遗传算法中的作用的相对应关系316

16.1.3 Bayes网络方法317

图16.1 应用Bayes网络进行自动分类的图示：H为隐藏变量318

16.1.4 数据（资料）同化（Data Assimilation）方法321

16.2.1 遥感科学中的反演问题325

16.2 其他学科中的反演问题325

图16.2 太阳 玉米冠层-传感器几何位置关系及玉米冠层结构和在垂直于行向的平面里的变量定义326

图16.3 BRDF示意图327

16.2.2 大气气溶胶反演问题330

16.2.3 医学图像处理332

图16.4 CT截面图333

16.2.4 计量经济领域中的参数识别问题334

16.2.5 金融科学中的反演问题336

16.2.6 生命科学中的反演问题337

16.2.7 高能物理中的光能谱反演问题338

附录 MATLAB应用举例340

A.1 MATLAB指令说明340

A.2 部分源程序346

参考文献352

索引367