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第1章Matlab简介1

1.1向量和矩阵的产生1

1.1.1向量的产生1

1.1.2矩阵的产生2

1.2运算符及矩阵运算5

1.2.1运算符5

1.2.2矩阵运算6

1.3函数库8

1.3.1初等函数8

1.3.2矩阵函数8

1.3.3多项式和插值拟合函数9

1.3.4数值线性代数9

1.3.5数值积分和常微分方程数值解10

1.4 Matlab程序设计初步10

1.4.1 M文件10

1.4.2控制语句12

1.4.3数据的输入和输出14

1.4.4绘图功能15

实验题18

第2章 数值分析的若干基本概念20

2.1数值分析的研究对象20

2.1.1数值分析的研究对象与意义20

2.1.2计算机解决科学计算问题时经历的几个过程23

2.2数值计算的误差23

2.2.1误差的分类23

2.2.2误差与有效数字24

2.3数值计算中误差的传播26

2.3.1 Taylor公式、大O记号与广义积分中值定理26

2.3.2求函数值和算术运算的误差估计28

2.3.3用差商近似代替导数的误差估计29

2.4数值稳定性与避免误差伤害31

2.4.1算法的数值稳定性31

2.4.2数值计算中应该注意的问题33

2.5舍入误差与数值稳定性数值实验35

习题38

实验题38

第3章 线性代数方程组的数值解法40

3.1引言40

3.2 Gauss消元法41

3.2.1 Gauss消元法的基本思想41

3.2.2列主元Gauss消元法44

3.3矩阵的直接分解法46

3.3.1 Gauss消元法的矩阵形式46

3.3.2 Cholesky分解法50

3.4三对角方程组的求解方法52

3.4.1解三对角方程组的算法1（基于Crout分解的追赶法）52

3.4.2解三对角方程组的算法2（基于Gauss消元的追赶法）54

3.4.3解三对角方程组的算法3（递推算法）56

3.5向量范数和矩阵范数57

3.5.1向量范数57

3.5.2矩阵范数59

3.5.3方程组的状态与条件数60

3.6解线性代数方程组的迭代法61

3.6.1迭代原理62

3.6.2 Jacobi迭代法62

3.6.3 Gauss-Seidel迭代法63

3.6.4超松弛（SOR）法64

3.6.5收敛性分析64

3.7数值实验71

3.7.1列主元Gauss消元法71

3.7.2方程组的状态与条件数74

3.7.3 Jacobi与Gauss-Seidel迭代法77

3.7.4超松弛迭代法81

习题82

实验题87

第4章 非线性方程求根、非线性方程组数值解法初步90

4.1问题的提出90

4.2区间搜索法及二分法91

4.2.1方程求根需注意的两个问题91

4.2.2区间搜索法91

4.2.3二分法（对分法）91

4.3迭代法93

4.3.1迭代法的基本思想93

4.3.2简单迭代法93

4.3.3迭代法局部收敛性96

4.3.4迭代法的收敛速度97

4.3.5不动点迭代算法98

4.4迭代加速技术98

4.4.1 Aitken加速法98

4.4.2 Steffensen迭代法100

4.5 Newton法101

4.5.1 Newton法公式的导出101

4.5.2 Newton法的局部收敛性102

4.5.3 Newton下山法104

4.5.4 Newton迭代法的优缺点及算法105

4.6弦截法105

4.6.1单点弦截法105

4.6.2单点弦截法的收敛性106

4.7非线性方程组的解法107

4.7.1不动点迭代法107

4.7.2解非线性方程组的Newton法109

4.7.3拟Newton法110

4.8数值实验113

4.8.1二分法113

4.8.2不动点迭代115

4.8.3 Aitken加速收敛方法116

4.8.4 Newton迭代法117

4.8.5弦截法118

4.8.6拟Newton法119

习题121

实验题122

第5章 插值法125

5.1代数插值问题125

5.1.1问题的提出125

5.1.2插值函数的基本概念125

5.1.3代数插值多项式126

5.2 Lagrange插值127

5.2.1 Lagrange插值公式的导出127

5.2.2线性插值与抛物线插值129

5.2.3插值多项式的余项131

5.3差商与Newton插值公式134

5.3.1差商及其性质135

5.3.2 Newton插值公式137

5.4差分与等距节点插值公式139

5.4.1差分的概念139

5.4.2差分与差商的关系140

5.4.3等距节点的插值公式141

5.5 Hermite插值142

5.5.1 Hermite插值问题142

5.5.2误差估计144

5.6分段低次插值147

5.6.1高次插值的误差分析147

5.6.2分段线性插值149

5.6.3分段线性插值的误差分析149

5.7三次样条插值150

5.7.1三次样条插值函数151

5.7.2三次样条插值函数的求法152

5.8多元函数插值157

5.8.1二元函数的双线性插值方法157

5.8.2三角形区域上的线性插值158

5.9数值实验159

5.9.1 Lagrange插值多项式159

5.9.2高次插值的Runge现象161

5.9.3样条插值161

5.9.4多元插值161

5.9.5插值运算的MATLAB函数165

习题167

实验题170

第6章 曲线拟合、函数逼近初步171

6.1曲线拟合的最小二乘法171

6.1.1最小二乘法的发现历史171

6.1.2最小二乘法原理172

6.2 ||·||1和||·||∞意义下的线性拟合178

6.2.1||·||1意义下的线性拟合179

6.2.2||·||∞意义下的线性拟合179

6.3超定方程组的最小二乘解180

6.4最佳平方逼近182

6.4.1最佳平方逼近问题的提法182

6.4.2最佳平方逼近的解法182

6.5最佳一致逼近184

6.6数值实验188

6.6.1最小二乘法188

6.6.2函数线性组合曲线拟合法191

习题193

实验题194

第7章 数值微积分196

7.1数值积分问题的提出196

7.2插值型求积公式197

7.2.1插值型求积公式的导出197

7.2.2求积公式的代数精度198

7.3 Newton-Cotes公式200

7.3.1 Newton-Cotes公式的导出200

7.3.2误差分析201

7.3.3数值稳定性202

7.3.4复合Newton-Cotes公式203

7.4 Romberg求积方法204

7.4.1 Romberg算法204

7.4.2 Romberg求积公式206

7.5 Gauss求积公式209

7.5.1 Gauss积分问题的提出209

7.5.2不带权的Gauss求积公式210

7.5.3带权的Gauss求积公式215

7.6数值微分216

7.6.1 Taylor展开法217

7.6.2插值型求导公式219

7.7数值实验221

7.7.1复合求积221

7.7.2 Romberg求积224

7.7.3广义积分225

习题225

实验题228

第8章 常微分方程数值解法230

8.1 Euler法230

8.1.1 Euler公式230

8.1.2隐式Euler公式231

8.1.3梯形公式231

8.1.4两步Euler法233

8.1.5改进的Euler法234

8.2 Runge-Kutta方法234

8.2.1 Taylor展开方法234

8.2.2 Runge-Kutta方法的基本思想236

8.2.3二阶Runge-Kutta方法237

8.2.4三阶Runge-Kutta方法238

8.2.5四阶Runge-Kutta方法239

8.2.6变步长Runge-Kutta方法240

8.3线性多步法241

8.3.1线性多步法的基本思想241

8.3.2 Adams内插公式241

8.3.3 Adams外推公式242

8.3.4 Adams预测校正公式244

8.4一阶方程组和高阶方程244

8.4.1一阶方程组244

8.4.2化高阶方程为一阶方程组245

8.5单步法的收敛性与稳定性247

8.5.1单步法的收敛性247

8.5.2单步法的绝对稳定性248

8.6数值实验250

8.6.1 Euler方法250

8.6.2 Runge-Kutta方法253

习题257

实验题260

第9章 矩阵特征值与特征向量的计算261

9.1问题的提出261

9.2乘幂法和反幂法262

9.2.1乘幂法262

9.2.2乘幂法的其他复杂情况265

9.2.3乘幂法的加速265

9.2.4反幂法（又称逆代法）267

9.3 Jacobi方法268

9.3.1 Jacobi方法的理论依据268

9.3.2古典Jacobi方法273

9.3.3过关古典Jacobi方法273

9.4 QR算法273

9.4.1 Householder变换274

9.4.2化一般矩阵为拟上三角矩阵275

9.4.3矩阵的正交三角分解276

9.4.4 QR算法277

9.5数值实验278

9.5.1乘幂法278

9.5.2反幂法283

习题284

实验题285

习题答案与提示286

参考文献333