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第一篇 高等数学3

第一章 函数 极限 连续3

考点与要求3

1 函数3

内容精讲3

一、定义3

二、重要性质、定理、公式5

例题分析6

一、求分段函数的复合函数6

二、关于函数有界（无界）的讨论7

2 极限8

内容精讲8

一、定义8

二、重要性质、定理、公式9

三、计算极限的一些有关方法10

例题分析12

一、求函数的极限13

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限18

三、含有｜x｜,e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限21

四、无穷小的比较21

五、数列的极限22

六、极限运算定理的正确运用26

3 函数的连续与间断28

内容精讲28

一、定义28

二、重要性质、定理、公式29

例题分析30

一、讨论函数的连续与间断30

二、在连续条件下求参数30

三、连续函数的零点问题31

第二章 一元函数微分学32

考点与要求32

1 导数与微分，导数的计算32

内容精讲32

一、定义32

二、重要性质、定理、公式33

例题分析36

一、按定义求一点处的导数36

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数38

三、绝对值函数的导数42

四、由极限式表示的函数的可导性43

五、导数与微分、增量的关系44

六、求导数的计算题44

2 导数的应用46

内容精讲46

一、定义46

二、重要性质、定理、公式与方法47

例题分析49

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论49

二、渐近线51

三、曲率与曲率圆52

四、最大值、最小值问题52

3 中值定理、不等式与零点问题54

内容精讲54

一、重要定理54

二、重要方法55

例题分析56

一、不等式的证明56

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题61

三、复合函数ψ（x,f（x），f′（x））的零点63

四、复合函数ψ（x,f（x），f′（x），f″（x））的零点64

五、“双中值”问题65

六、零点的个数问题66

七、证明存在某ξ满足某不等式67

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系68

第三章 一元函数积分学70

考点与要求70

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论70

内容精讲70

一、定义70

二、重要性质、定理、公式71

例题分析72

一、分段函数的不定积分与定积分72

二、定积分与原函数的存在性74

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分75

2 不定积分与定积分的计算78

内容精讲78

一、基本积分公式78

二、基本积分方法79

例题分析81

一、简单有理分式的积分81

二、三角函数的有理分式的积分82

三、简单无理式的积分82

四、两种不同类型的函数相乘的积分84

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分85

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分86

七、含参变量带绝对值号的定积分88

八、积分计算杂例89

3 反常积分及其计算91

内容精讲91

一、定义91

二、重要性质、定理、公式92

例题分析93

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性93

二、关于奇、偶函数的反常积分95

4 定积分的应用96

内容精讲96

一、基本方法96

二、重要几何公式与物理应用97

例题分析98

一、几何应用98

二、物理应用101

5 定积分的证明题105

内容精讲105

例题分析105

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等105

二、由积分定义的函数求极限107

三、积分不等式的证明108

四、零点问题114

第四章 向量代数与空间解析几何117

考点与要求117

1 　向量代数117

内容精讲117

一、与向量有关的基本概念117

二、向量的运算及性质118

例题分析119

一、向量的运算119

二、向量运算的应用及向量的位置关系121

2 平面与直线122

内容精讲122

一、平面方程122

二、直线方程122

三、平面与直线间的位置关系123

例题分析124

一、建立平面方程124

二、建立直线方程125

三、与平面和直线的位置关系有关的问题127

3 空间曲面与曲线130

内容精讲130

一、旋转面及其方程130

二、柱面及其方程130

三、常见的二次曲面及图形131

四、空间曲线及其方程132

五、空间曲线的投影132

例题分析132

一、建立柱面方程132

二、建立旋转面方程133

三、建立空间曲线的投影曲线方程135

第五章 多元函数微分学136

考点与要求136

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念）136

内容精讲136

一、多元函数136

二、二元函数的极限与连续137

三、二元函数的偏导数与全微分137

例题分析139

一、讨论二重极限139

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性141

三、讨论二元函数的可微性142

2 多元函数的微分法146

内容精讲146

一、复合函数的偏导数与全微分146

二、隐函数的偏导数与全微分148

例题分析148

一、求复合函数的偏导数与全微分148

二、求隐函数的偏导数与全微分157

3 极值与最值162

内容精讲162

一、无条件极值162

二、条件极值163

例题分析163

一、无条件极值问题163

二、条件极值（最值）问题166

三、多元函数的最大（小）值问题167

4 方向导数与梯度多元微分在几何上的应用泰勒定理172

内容精讲172

一、方向导数172

二、梯度172

三、曲面的切平面与法线173

四、曲线的切线和法平面173

五、泰勒定理174

例题分析174

一、有关方向导数与梯度174

二、有关曲面的切平面和曲线的切线177

三、泰勒定理179

第六章 多元函数积分学180

考点与要求180

1 重积分180

内容精讲180

一、二重积分180

二、三重积分183

例题分析185

一、计算二重积分185

二、累次积分交换次序及计算194

三、与二重积分有关的综合题197

四、与二重积分有关的积分不等式问题199

五、计算三重积分202

六、三重积分的累次积分205

2 曲线积分206

内容精讲206

一、对弧长的线积分（第一类线积分）206

二、对坐标的线积分（第二类线积分）207

例题分析209

一、对弧长的线积分（第一类线积分）209

二、对坐标的线积分（第二类线积分）211

3 曲面积分220

内容精讲220

一、对面积的面积分（第一类面积分）220

二、对坐标的面积分（第二类面积分）221

例题分析223

一、对面积的面积分（第一类面积分）223

二、对坐标的面积分（第二类面积分）225

4 场论初步231

内容精讲231

一、梯度（详见第五章 第4节 之二）231

二、通量231

三、散度231

四、旋度231

例题分析232

一、梯度、旋度、散度的计算232

5 多元积分的应用233

内容精讲233

例题分析234

一、几何应用234

二、求物理量235

第七章 无穷级数239

考点与要求239

1 常数项级数239

内容精讲239

一、级数的概念与性质239

二、级数的判敛准则240

例题分析241

一、正项级数敛散性的判定241

二、交错级数敛散性的判定245

三、任意项级数敛散性判定246

四、有关常数项级数的证明题与综合题251

2 幂级数256

内容精讲256

一、函数项级数及收敛域与和函数256

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域257

三、幂级数的性质258

四、函数的幂级数展开258

例题分析259

一、求幂级数的收敛域259

二、将函数展开为幂级数262

三、级数求和265

3 傅里叶级数270

内容精讲270

一、三角函数及其正交性270

二、傅里叶级数270

三、收敛性定理270

四、周期为2π的函数的傅里叶展开271

五、周期为2l的函数的傅里叶展开271

例题分析272

一、有关收敛定理的问题272

二、将函数展开为傅里叶级数273

第八章 微分方程275

考点与要求275

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法275

内容精讲275

一、定义275

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法276

例题分析278

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题）278

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题279

三、积分方程化为微分方程求解280

四、偏微分方程化为常微分方程求解282

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解283

2 二阶及高阶线性微分方程284

内容精讲284

一、定义284

二、重要性质、定理、公式284

例题分析286

一、识别类型，对号入座，按类型求解286

二、用变量代换解微分方程289

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解290

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式290

五、已知方程的解求方程291

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系292

七、欧拉方程求解293

3 微分方程的应用294

内容精讲294

一、几何问题294

二、变化率问题294

三、牛顿第二定律或运动等问题295

四、微元法建立微分方程296

第二篇 线性代数299

第一章 行列式299

考点与要求299

内容精讲299

例题分析302

一、数字型行列式的计算302

二、抽象型行列式的计算308

三、行列式｜A｜是否为零的判定310

四、关于代数余子式求和310

第二章 矩阵313

考点与要求313

内容精讲313

1 矩阵的概念及运算313

一、矩阵的概念313

二、矩阵的运算314

三、矩阵的运算规则314

四、特殊矩阵315

2 可逆矩阵316

一、可逆矩阵的概念316

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件316

三、逆矩阵的运算性质316

四、求逆矩阵的方法316

3 初等变换、初等矩阵317

一、定义317

二、初等矩阵与初等变换的性质317

4 矩阵的秩318

一、矩阵秩的概念318

二、矩阵秩的公式318

5 分块矩阵319

一、分块矩阵的概念319

二、分块矩阵的运算319

例题分析320

一、矩阵的概念及运算320

二、特殊方阵的幂324

三、伴随矩阵的相关问题326

四、可逆矩阵的相关问题329

五、初等变换、初等矩阵332

六、矩阵秩的计算333

第三章 向量338

考点与要求338

内容精讲338

1 n维向量的概念与运算338

2 线性表出、线性相关339

3 极大线性无关组、秩340

4 Schmidt正交化、正交矩阵341

5 向量空间341

例题分析343

一、线性相关的判别343

二、向量的线性表示344

三、线性相关与线性无关的证明346

四、秩与极大线性无关组349

五、正交化、正交矩阵351

六、向量空间352

第四章 线性方程组355

考点与要求355

内容精讲355

1 克拉默法则355

2 齐次线性方程组356

3 非齐次线性方程组357

例题分析359

一、线性方程组的基本概念题359

二、线性方程组的求解362

三、基础解系368

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A370

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系371

六、两个方程组的公共解373

七、同解方程组374

八、线性方程组的有关杂题376

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵379

考点与要求379

内容精讲379

1 特征值、特征向量379

一、特征值，特征向量379

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵379

三、特征值的性质379

四、求特征值、特征向量的方法380

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化380

一、相似矩阵380

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件380

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件381

3 实对称矩阵的相似对角化381

一、实对称阵381

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化381

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤381

例题分析382

一、特征值，特征向量的求法382

二、两个矩阵有相同的特征值的证明386

三、关于特征向量387

四、矩阵是否相似于对角阵的判别387

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数390

六、由特征值、特征向量反求A390

七、矩阵相似及相似标准形392

八、相似对角阵的应用397

第六章 二次型401

考点与要求401

内容精讲401

1 二次型的概念、矩阵表示401

一、二次型概念401

二、二次型的矩阵表示401

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型402

一、二次型的标准形，规范形402

二、化二次型为标准形，规范形403

三、合同矩阵，合同二次型403

3 正定二次型、正定矩阵404

例题分析404

一、二次型的矩阵表示404

二、化二次型为标准形406

三、合同矩阵、合同二次型410

四、正定性的判别413

五、正定二次型的证明415

六、综合杂题416

第三篇 概率论与数理统计421

第一章 随机事件和概率421

考点与要求421

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算421

内容精讲421

例题分析423

2 概率、条件概率、独立性和五大公式425

内容精讲425

例题分析427

3 古典概型与伯努利概型431

内容精讲431

例题分析432

第二章 随机变量及其概率分布435

考点与要求435

1 随机变量及其分布函数435

内容精讲435

例题分析436

2 离散型随机变量和连续型随机变量437

内容精讲437

例题分析438

3 常用分布439

内容精讲439

例题分析442

4 随机变量函数的分布445

内容精讲445

例题分析446

第三章 多维随机变量及其分布448

考点与要求448

1 二维随机变量及其分布448

内容精讲448

例题分析450

2 随机变量的独立性455

内容精讲455

例题分析456

3 二维均匀分布和二维正态分布462

内容精讲462

例题分析463

4 两个随机变量函数Z=g（X,Y）的分布466

内容精讲466

例题分析467

第四章 随机变量的数字特征472

考点与要求472

1 随机变量的数学期望和方差472

内容精讲472

例题分析474

2 矩、协方差和相关系数481

内容精讲481

例题分析482

第五章 大数定律和中心极限定理489

考点与要求489

内容精讲489

例题分析490

第六章 数理统计的基本概念492

考点与要求492

1 总体、样本、统计量和样本数字特征492

内容精讲492

例题分析493

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布495

内容精讲495

例题分析497

第七章 参数估计501

考点与要求501

1 点估计501

内容精讲501

例题分析501

2 估计量的求法和区间估计506

内容精讲506

例题分析508

第八章 假设检验512

考点与要求512

内容精讲512

例题分析513