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目录1

第1章 行列式1

1.1 n阶行列式的定义1

1.1.1 排列与逆序1

1.1.2 二阶与三阶行列式2

1.1.3 n阶行列式的定义4

1.2 行列式的性质7

1.3 行列式的展开与计算12

1.3.1 行列式按一行（或一列）展开12

1.3.2 拉普拉斯（Laplace）定理18

1.4 克莱姆（Cramer）法则20

1.5 数域24

习题一26

第2章 矩阵30

2.1 矩阵的概念30

2.2 矩阵的运算32

2.2.1 矩阵的加法与数乘32

2.2.2 矩阵的乘法34

2.2.3 矩阵的转置40

2.3 逆矩阵42

2.3.1 逆矩阵42

2.3.2 正交矩阵47

2.4 分块矩阵49

2.4.1 分块矩阵的概念49

2.4.2 分块矩阵的运算49

2.4.3 准对角形矩阵52

2.5.1　矩阵的初等变换55

2.5 初等变换与初等矩阵55

2.5.2　初等矩阵59

2.5.3 分块矩阵的初等变换63

2.6　矩阵的秩66

2.6.1　矩阵的秩的概念66

2.6.2　用初等变换求矩阵的秩67

习题二72

第3章 向量组的线性相关性77

3.1 向量的概念与运算77

3.1.1 向量的概念77

3.1.2　向量的运算78

3.2　向量组的线性相关性80

3.2.1 向量组的线性相关与线性无关80

3.2.2 向量组线性相关性的判别法84

3.2.3 向量组线性相关性的一些性质86

3.3　向量组的秩88

3.3.1 向量组的秩与极大线性无关组88

3.3.2　向量组的等价90

3.4 向量空间92

3.4.1 向量空间的概念92

3.4.2　基、维数与坐标93

3.4.3　基变换与坐标变换94

习题三98

第4章　线性方程组101

4.1　线性方程组有解的判定定理101

4.2　线性方程组解的求法103

4.3　线性方程组解的结构112

4.3.1　齐次线性方程组解的结构112

4.3.2　非齐次线性方程组解的结构116

习题四121

第5章　矩阵的相似变换126

5.1　方阵的特征值与特征向量126

5.1.1　特征值与特征向量的概念126

5.1.2　特征值与特征向量的求法127

5.1.3　特征值与特征向量的性质130

5.2　矩阵的相似对角化132

5.2.1 相似矩阵132

5.2.2　矩阵的相似对角化134

5.3　实对称矩阵的相似对角化139

5.3.1 向量的内积与施密特（Schmidt）正交化方法139

5.3.2　实对称矩阵的特征值与特征向量142

5.3.3　实对称矩阵的相似对角化143

5.4 矩阵的若尔当（Jordan）标准形介绍148

习题五150

第6章　二次型155

6.1　二次型及其矩阵表示155

6.2　化二次型为标准形158

6.2.1　配方法158

6.2.2　初等变换法162

6.2.3　正交替换法165

6.3　规范形及惟一性167

6.3.1　实二次型的规范形及惟一性167

6.3.2　复数域上二次型的规范形171

6.4　正定二次型与正定矩阵172

习题六179

7.1.1 线性空间的定义182

7.1 线性空间的定义和性质182

第7章　线性空间182

7.1.2 线性空间的初步性质183

7.2 维数、基与坐标185

7.2.1 线性空间的维数与基185

7.2.2 基变换与坐标变换187

7.2.3 线性空间的同构189

7.3 线性子空间190

7.3.1 线性子空间的概念及基本性质190

7.3.2 线性子空间的交与和193

7.4 欧氏空间196

7.4.1 欧氏空间的定义及基本性质197

7.4.2 度量矩阵与标准正交基201

习题七206

8.1.1 线性变换的定义209

第8章　线性变换209

8.1 线性变换的概念和基本性质209

8.1.2 线性变换的运算213

8.2 线性变换的矩阵216

8.3 线性变换的特征值与特征向量223

习题八224

第9章 线性代数的一些应用227

9.1 在图论中的应用227

9.2 在最小二乘法中的应用231

9.3 在经济模型中的应用236

习题九240

习题答案242

参考文献254