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1 绪论1

1.1 数值分析研究的对象和内容1

1.2 误差来源和分类2

1.3 绝对误差、相对误差与有效数字3

1.4 数值计算中的若干原则6

习题110

2 解线性方程组的直接方法11

2.1 Gauss（高斯）消去法12

2.1.1 顺序Gauss消去法12

2.1.2 列主元Gauss消去法16

2.2 矩阵三角分解方法19

2.2.1 Gauss消去法的矩阵运算19

2.2.2 直接三角分解方法22

2.2.3 平方根法28

2.2.4 追赶法31

2.3 解大型带状方程组的直接法35

2.3.1 三角分解法解大型带状方程组35

2.3.2 大型带状矩阵的压缩存贮方法37

2.4 向量和矩阵的范数40

2.4.1 向量的范数40

2.4.2 矩阵的范数42

2.5 线性方程组固有性态与误差分析45

2.5.1 方程组的固有性态45

2.5.2 预条件和迭代改善48

习题250

3 解线性方程组的迭代法53

3.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法53

3.2 迭代法的一般形式与收敛性58

3.3 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性60

3.4 逐次超松弛迭代法——SOR方法62

3.5 块迭代法66

3.5.1 块Jacobi迭代法67

3.5.2 块SOR方法68

3.6 共轭梯度法68

3.6.1 等价的极值问题与最速下降法69

3.6.2 共轭梯度法71

习题374

4 非线性方程求根77

4.1 二分法77

4.2 简单迭代法80

4.2.1 简单迭代法的一般形式80

4.2.2 简单迭代法的收敛条件82

4.2.3 简单迭代法的收敛阶85

4.3 Newton迭代法88

4.3.1 Newton迭代格式88

4.3.2 Newton迭代法的收敛性89

4.3.3 Newton迭代法的变形92

4.4 解非线性方程组的迭代法98

4.4.1 Newton迭代法98

4.4.2 拟Newton迭代法101

习题4104

5 矩阵特征值与特征向量的计算107

5.1 乘幂法与反幂法108

5.1.1 乘幂法108

5.1.2 加速技术118

5.1.3 反幂法121

5.2 Jacobi方法123

5.2.1 平面旋转矩阵124

5.2.2 Jacobi方法127

5.3 QR方法130

5.3.1 平面反射矩阵及其性质130

5.3.2 QR分解定理132

5.3.3 QR方法134

习题5138

6 插值与逼近141

6.1 多项式插值问题141

6.2 Lagrange插值多项式143

6.2.1 线性插值与抛物线插值143

6.2.2 n次Lagrange插值多项式144

6.2.3 Lagrange插值余项145

6.3 Newton插值多项式148

6.3.1 差商及其性质149

6.3.2 Newton插值多项式及其余项150

6.4 Hermite插值多项式152

6.5 分段插值多项式155

6.5.1 分段Lagrange插值155

6.5.2 分段三次Hermite插值157

6.6 三次样条插值158

6.6.1 三次样条函数158

6.6.2 三转角方法159

6.6.3 三弯矩方法162

6.7 有理插值166

6.8 正交多项式与最佳均方逼近171

6.8.1 正交多项式172

6.8.2 最佳均方逼近176

6.9 数据拟合的最小二乘法179

6.9.1 数据拟合问题179

6.9.2 数据拟合的最小二乘法179

习题6184

7 数值积分与数值微分188

7.1 数值积分概述188

7.1.1 数值积分的基本概念188

7.1.2 插值型数值求积公式190

7.1.3 Newton-Cotes求积公式192

7.2 复化求积公式198

7.3 Romberg求积公式202

7.3.1 区间逐次分半的梯形公式203

7.3.2 Romberg积分公式205

7.4 Gauss型求积公式209

7.4.1 Gauss型求积公式的一般理论209

7.4.2 几种Gauss型求积公式212

7.5 特殊积分的处理技术217

7.5.1 振荡函数的积分218

7.5.2 奇异积分221

7.6 数值微分225

7.6.1 差商型数值微分公式225

7.6.2 插值型数值微分公式227

习题7229

8 常微分方程数值解法232

8.1 引言232

8.1.1 为什么要研究数值解法232

8.1.2 构造差分方法的基本思想233

8.2 改进的Euler方法和Taylor展开方法236

8.2.1 改进的Euler方法236

8.2.2 差分公式的误差分析238

8.2.3 Taylor展开方法239

8.3 Runge-Kutta方法241

8.3.1 Runge-Kutta方法的构造241

8.3.2 变步长Runge-Kutta方法246

8.4 单步方法的收敛性和稳定性247

8.4.1 单步方法的收敛性247

8.4.2 单步方法的稳定性249

8.5 线性多步方法251

8.5.1 利用待定参数法构造线性多步方法252

8.5.2 利用数值积分构造线性多步方法253

8.6 常微分方程组与高阶方程的差分方法256

8.6.1 一阶常微分方程组的差分方法256

8.6.2 化高阶方程为一阶方程组259

8.7 刚性方程组简介261

8.8 常微分方程边值问题的数值解法263

8.8.1 打靶法263

8.8.2 有限差分方法265

习题8270

9 偏微分方程差分方法274

9.1 椭圆型方程边值问题的差分方法274

9.1.1 差分方程的建立274

9.1.2 一般区域的边界条件处理278

9.1.3 差分方程解的存在唯一性与迭代求解280

9.2 抛物型方程的差分方法282

9.2.1 一维问题282

9.2.2 差分格式的稳定性288

9.2.3 高维问题292

9.3 双曲型方程的差分方法294

9.3.1 一阶双曲型方程294

9.3.2 一阶双曲型方程组298

9.3.3 二阶双曲型方程299

习题9301

习题解答304

上机实验319

参考文献331