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第一章 Banach空间、Hilbert空间和度量空间1

1.1 Banach空间1

1.2 Hilbert空间3

1.2.1 规范正交基5

1.2.2 Hilbert空间上连续线性泛函7

1.2.3 应用举例8

1.3 度量空间11

1.3.1 闭集套定理和Baire纲定理11

1.3.2 度量空间中的紧集16

1.3.3 Banach不动点定理23

第二章 线性泛函28

2.1 基本概念和例子28

2.2 Hahn-Banach延拓定理30

2.2.1 Hahn-Banach延拓定理30

2.2.2 共轭算子33

2.2.3 子空间和商空间的对偶34

2.3 Hahn-Banach定理的几何形式——凸集分离定理35

2.3.1 Minkowski泛函35

2.3.2 凸集分离定理35

2.4 弱拓扑和弱＊-拓扑39

2.4.1 弱拓扑42

2.4.2 弱＊-拓扑44

2.4.3 Banach-Alaoglu定理44

2.4.4 Stone-Weierstrass定理48

第三章 线性算子的基本定理51

3.1 基本定理51

3.2 一些应用实例56

3.2.1 对Fourier级数的应用56

3.2.2 对收敛性的应用60

3.2.3 对向量值解析函数的应用61

3.2.4 对再生解析Hilbert空间的应用63

3.3 算子半群简介67

第四章 Banach代数和谱75

4.1 Banach代数75

4.1.1 Banach代数的可逆元76

4.1.2 谱77

4.1.3 谱映射定理81

4.2 交换的Banach代数82

4.2.1 Banach代数的理想82

4.2.2 可乘线性泛函和极大理想83

4.2.3 Gelfand变换84

4.2.4 例子和应用85

4.3 Riesz函数演算91

4.4 C*-代数简介100

4.4.1 C*代数的基本概念100

4.4.2 Gelfand-Naimark定理103

4.4.3 C*-代数的正元106

4.4.4 态和GNS构造108

4.4.5 Fuglede-Putnam定理111

4.4.6 二次换位子定理113

第五章 Hilbert空间上的算子117

5.1 紧算子117

5.1.1 定义和例子117

5.1.2 紧算子的谱分析119

5.1.3 紧的正规算子122

5.2 Hilbert-Schmidt算子123

5.3 迹类算子126

5.4 Schatten p-类算子131

5.4.1 定义和例子131

5.4.2 Schatten p-类算子的对偶空间（p≥1）133

5.5 Fredholm算子137

5.5.1 Atkinson定理137

5.5.2 Fredholm指标138

5.5.3 BDF-定理141

5.6 正规算子的谱定理146

5.7 次正规算子和亚正规算子150

5.7.1 基本概念和例子150

5.7.2 Berger-Shaw定理152

5.8 压缩算子的膨胀157

第六章 Toeplitz算子、Hankel算子和复合算子162

6.1 引言162

6.2 Hardy空间164

6.2.1 Hardy空间简介164

6.2.2 Beurling定理167

6.2.3 内-外因子分解定理171

6.3 Hardy空间上的Toeplitz算子173

6.3.1 Toeplitz算子的代数性质174

6.3.2 连续符号的Toeplitz算子的指标公式177

6.3.3 Toeplitz代数179

6.4 Hardy空间上的Hankel算子182

6.4.1 Nehari定理183

6.4.2 Hartman定理185

6.4.3 对插值问题的应用188

6.5 Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子189

6.6 复合算子193

6.6.1 Hardy空间上的复合算子193

6.6.2 Bergman空间上的复合算子197

参考文献202