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第一篇 高等数学1

第一章 函数 极限 连续1

1函数1

Ⅰ考点精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

Ⅱ例题精讲5

一、求分段函数的复合函数5

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数7

三、求反函数的表达式7

四、关于函数有界（无界）的讨论9

2极限10

Ⅰ考点精讲10

一、定义10

二、重要性质、定理、公式12

三、计算极限的一些有关方法13

Ⅱ例题精讲16

一、求函数的极限16

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限22

三、含有|x|，e 1／x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限25

四、无穷小的比较26

五、数列的极限27

六、极限运算定理的正确运用31

3函数的连续与间断34

Ⅰ考点精讲34

一、定义34

二、重要性质、定理、公式35

Ⅱ例题精讲36

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断36

二、在连续条件下求参数38

三、连续函数的零点问题39

模考题训练40

模考题训练答案与提示42

第二章 一元函数微分学43

1导数与微分，导数的计算43

Ⅰ考点精讲43

一、定义43

二、重要性质、定理、公式44

Ⅱ例题精讲47

一、按定义求一点处的导数47

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数49

三、绝对值函数的导数55

四、由极限式表示的函数的可导性56

五、导数与微分、增量的关系57

六、求导数的计算题57

2导数的应用60

Ⅰ考点精讲60

一、定义60

二、重要性质、定理、公式与方法61

Ⅱ例题精讲63

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论63

二、渐近线67

三、曲率与曲率圆68

四、最大值、最小值问题69

3中值定理、不等式与零点问题70

Ⅰ考点精讲70

一、重要定理70

二、重要方法72

Ⅱ例题精讲73

一、不等式的证明73

二、f（x）的零点与f’（x）的零点问题78

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点81

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点82

五、“双中值”问题83

六、零点的个数问题83

七、证明存在某ξ满足某不等式85

八、lim f’（x） x→x0与f’（x0）的关系86

九、f’（x）与f（x）的一些极限性质的关系87

模考题训练88

模考题训练答案与提示91

第三章 一元函数积分学93

1不定积分与定积分的概念、性质、理论93

Ⅰ考点精讲93

一、定义93

二、重要性质、定理、公式94

Ⅱ例题精讲96

一、分段函数的不定积分与定积分96

二、定积分与原函数的存在性99

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分100

2不定积分与定积分的计算103

Ⅰ考点精讲103

一、基本积分公式103

二、基本积分方法104

Ⅱ例题精讲107

一、简单有理分式的积分107

二、三角函数的有理分式的积分108

三、简单无理式的积分109

四、两种不同类型的函数相乘的积分110

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分112

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分113

七、含参变量带绝对值号的定积分115

3反常积分及其计算116

Ⅰ考点精讲116

一、定义116

二、重要性质、定理、公式117

Ⅱ例题精讲119

一、反常积分的计算119

二、关于奇、偶函数的反常积分120

三、关于反常积分敛散性的判定122

4定积分的应用123

Ⅰ考点精讲123

一、基本方法123

二、重要几何公式与物理应用124

Ⅱ例题精讲126

一、几何应用126

二、物理应用129

5定积分的证明题132

Ⅰ考点精讲132

Ⅱ例题精讲133

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等133

二、由积分定义的函数求极限135

三、积分不等式的证明137

四、零点问题142

模考题训练145

模考题训练答案与提示148

第四章 向量代数与空间解析几何151

1向量代数151

Ⅰ考点精讲151

一、定义151

二、重要性质、定理、公式152

Ⅱ例题精讲154

一、给出一些关系求另一些关系154

二、以向量平行、垂直、交成定角、模等为条件，求某些量156

三、三点共线与三向量共面问题157

四、以坐标给出的问题158

2平面与直线159

Ⅰ考点精讲159

一、平面方程159

二、直线方程159

三、平面、直线间的关系与距离公式160

Ⅱ例题精讲160

一、求平面方程161

二、求直线方程163

三、平面、直线之间的有关问题165

3空间曲面与曲线167

Ⅰ考点精讲167

一、曲面的方程与常见曲面167

二、空间曲线的方程169

三、空间曲线在坐标面上的投影169

Ⅱ例题精讲170

一、与投影有关的问题170

二、求曲面及空间曲线171

模考题训练172

模考题训练答案与提示173

第五章 多元函数微分学175

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分175

Ⅰ考点精讲175

一、定义175

二、重要性质、定理、公式178

Ⅱ例题精讲180

一、讨论二重极限180

二、讨论偏导数存在性，函数的连续性181

三、讨论函数的可微性183

四、求初等函数的偏导数184

五、外层为抽象函数时的复合函数求偏导数（重点）185

六、求隐函数的偏导数189

七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数191

2极值与最值193

Ⅰ考点精讲193

一、定义193

二、重要性质、定理、公式193

Ⅱ例题精讲195

一、关于抽象函数的极值问题195

二、极值与最值的计算题196

三、最值的应用问题197

3方向导数、梯度、曲面的切平面、曲线的切线199

Ⅰ考点精讲199

一、定义199

二、重要性质、定理、公式199

Ⅱ例题精讲201

一、有关方向导数201

二、有关曲面的切平面、曲线的切线203

三、与最值结合的题204

模考题训练207

模考题训练答案与提示209

第六章 多元函数积分学211

1二重积分，三重积分，第一型线、面积分211

Ⅰ考点精讲211

一、定义211

二、重要性质、定理、公式212

Ⅱ例题精讲214

一、二重积分在直角坐标中的计算214

二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容）215

三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化216

四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点）218

五、关于轮换对称的二重积分220

六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算221

七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明）224

八、三重积分在直角坐标中的计算227

九、三重积分在柱面坐标、球面坐标中的计算230

十、第一型曲线积分与第一型曲面积分的计算232

十一、应用235

2平面第二型曲线积分238

Ⅰ考点精讲238

一、定义238

二、重要性质、定理、公式239

Ⅱ例题精讲242

一、用参数式计算（基本方法）242

二、封闭曲线格林公式法243

三、加、减弧段格林公式法（重点）243

四、路径无关选路法，利用原函数求曲线积分244

五、复连通域内封闭曲线积分247

六、与路径无关相关联的问题249

七、带绝对值号的函数的曲线积分250

八、应用251

3第二型曲面积分与空间第二型曲线积分的计算252

Ⅰ考点精讲252

一、定义252

二、重要性质、定理、公式253

Ⅱ例题精讲255

一、投影计算法（基本方法）255

二、封闭曲面高斯公式法257

三、加、减曲面片高斯公式法（重点）257

四、化成第一型曲面积分计算，或转换投影法计算259

五、挖洞法263

六、与？P／？x+？Q／？y+？R／？z=0有关联的问题263

七、第二型曲面积分关于奇、偶性与对称性的题264

八、曲面积分的综合题265

九、空间第二型曲线积分的计算266

模考题训练267

模考题训练答案与提示272

第七章 无穷级数273

1数项级数273

Ⅰ考点精讲273

一、定义273

二、重要性质、定理与公式274

Ⅱ例题精讲277

一、正项级数敛散性的判别277

二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛283

三、敛散性判别法的选择题286

2幂级数290

Ⅰ考点精讲290

一、定义290

二、重要性质、定理与公式292

Ⅱ例题精讲296

一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题296

二、函数展开成幂级数299

三、简单幂级数∞∑n=0 anxn求和304

四、幂级数与微分方程有关的题307

五、利用幂级数求某些数项级数的和309

3傅里叶级数310

Ⅰ考点精讲310

一、定义310

二、重要性质、定理、公式310

Ⅱ例题精讲312

一、函数展开为傅里叶级数312

二、给出f（x），要求它的傅里叶级数在某指定点的收敛和313

模考题训练314

模考题训练答案与提示318

第八章 微分方程319

1微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法319

Ⅰ考点精讲319

一、定义319

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法320

Ⅱ例题精讲324

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题）324

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题325

三、积分方程化为微分方程求解326

四、偏微分方程化为常微分方程求解329

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解331

2二阶及高阶线性微分方程331

Ⅰ考点精讲331

一、定义331

二、重要性质、定理、公式332

Ⅱ例题精讲334

一、识别类型，对号入座，按类型求解334

二、用变量代换解微分方程336

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解339

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式340

五、已知方程的解求方程340

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系342

七、欧拉方程求解343

3微分方程的应用343

Ⅰ考点精讲343

一、几何问题343

二、变化率问题344

三、牛顿第二定律或运动等问题346

四、微元法建立微分方程347

模考题训练348

模考题训练答案与提示350

第二篇 线性代数353

第一章 行列式353

1 n阶行列式的定义353

Ⅰ考点精讲353

Ⅱ例题精讲354

2行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算356

Ⅰ考点精讲356

一、定义356

二、重要定理356

三、行列式的性质356

四、本章与后续章节有关的重要公式与结论357

Ⅱ例题精讲358

一、低阶行列式的计算358

二、n阶行列式计算技巧介绍361

三、行列式表示的函数、方程367

四、关于余子式和代数余子式370

五、抽象矩阵的行列式371

六、行列式的证明题371

3克莱姆法则373

Ⅰ考点精讲373

Ⅱ例题精讲374

模考题训练376

模考题训练答案与提示378

第二章 矩阵379

1矩阵的概念及基本运算379

Ⅰ考点精讲379

一、定义379

二、矩阵的运算规则380

三、特殊矩阵381

Ⅱ例题精讲381

一、方阵的幂381

二、矩阵乘法的可交换性384

三、对称阵和反对称阵385

2矩阵的逆387

Ⅰ考点精讲387

一、定义387

二、重要定理387

三、运算性质387

四、求逆矩阵的方法388

Ⅱ例题精讲389

一、证明A可逆及求A-1的方法389

二、伴随矩阵393

三、矩阵方程395

3初等变换与初等矩阵398

Ⅰ考点精讲398

一、定义398

二、初等矩阵与初等变换的性质399

Ⅱ例题精讲399

一、初等变换、初等矩阵399

二、矩阵的秩和等价矩阵401

4分块矩阵403

Ⅰ考点精讲403

一、定义403

二、分块矩阵的运算403

Ⅱ例题精讲405

一、分块矩阵的乘积405

二、分块矩阵的逆407

三、分块矩阵的行列式408

模考题训练408

模考题训练答案与提示410

第三章 向量413

1向量组的线性相关性413

Ⅰ考点精讲413

一、定义413

二、重要定理414

三、向量的基本运算415

Ⅱ例题精讲415

一、线性相关性的判别415

二、向量的线性表示417

三、向量组线性无关的证明419

2秩422

Ⅰ考点精讲422

一、定义422

二、重要定理422

三、有关秩的等式和不等式423

Ⅱ例题精讲424

3向量空间428

Ⅰ考点精讲428

一、定义428

二、重要定理429

三、施密特（Schmidt）标准正交化方法430

Ⅱ例题精讲431

模考题训练434

模考题训练答案与提示435

第四章 线性方程组437

1齐次线性方程组437

Ⅰ考点精讲437

一、定义437

二、重要定理438

三、基础解系和通解的求法438

Ⅱ例题精讲439

一、线性方程组的求解439

二、方程组解向量的判别，解的性质444

三、基础解系445

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A446

2非齐次线性方程组448

Ⅰ考点精讲448

一、定义448

二、重要定理448

三、非齐次线性方程组AX=b通解的求法449

Ⅱ例题精解449

一、非齐次线性方程组的求解449

二、非齐次线性方程组解的判别452

三、非齐次线性方程组有解的条件453

四、AX=b的通解结构454

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系455

六、两个方程组的公共解457

七、同解方程组459

模考题训练462

模考题训练答案与提示464

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵467

1特征值、特征向量467

Ⅰ考点精讲467

一、定义467

二、特征值的性质467

三、求特征值、特征向量的方法468

Ⅱ例题精讲468

2相似矩阵、矩阵的相似对角化476

Ⅰ考点精讲476

一、定义476

二、重要定理476

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件477

Ⅱ例题精讲477

3实对称矩阵的相似对角化483

Ⅰ考点精讲483

一、定义483

二、重要定理483

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤483

Ⅱ例题精讲484

模考题训练492

模考题训练答案与提示494

第六章 二次型497

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵497

Ⅰ考点精讲497

一、定义497

二、二次型的矩阵表示498

Ⅱ例题精讲499

2化二次型为标准形、规范形、合同二次型501

Ⅰ考点精讲501

一、定义501

二、重要定理501

三、二次型化标准形、规范形的方法502

Ⅱ例题精讲502

3正定二次型、正定矩阵512

Ⅰ考点精讲512

一、定义512

二、重要定理512

Ⅱ例题精讲513

模考题训练521

模考题训练答案与提示522

第三篇 概率统计525

第一章 随机事件和概率525

1事件、样本空间、事件间的关系与运算525

Ⅰ考点精讲525

一、定义525

二、重要性质、定理、公式529

三、事件和概率的计算530

Ⅱ例题精讲532

一、随机事件间关系及运算532

二、概率，条件概率，独立533

三、全概率公式和贝叶斯公式534

四、古典概型与伯努利概型537

模考题训练539

模考题训练答案与提示541

第二章 随机变量及其概率分布543

1随机变量及其分布函数543

Ⅰ考点精讲543

一、定义543

二、分布函数性质543

Ⅱ例题精讲544

2离散型随机变量和连续型随机变量545

Ⅰ考点精讲545

一、定义545

二、分布律和概率密度的性质545

Ⅱ例题精讲546

3常用分布548

Ⅰ考点精讲548

一、定义548

二、重要性质550

Ⅱ例题精讲551

4随机变量函数的分布553

Ⅰ考点精讲553

一、离散型随机变量的函数分布553

二、连续型随机变量的函数分布553

Ⅱ例题精讲553

模考题训练555

模考题训练答案与提示557

第三章 多维随机变量及其分布559

1二维随机变量及其分布559

Ⅰ考点精讲559

一、定义559

二、重要性质563

Ⅱ例题精讲564

2随机变量的独立性566

Ⅰ考点精讲566

一、定义（随机变量的独立性）566

二、充要条件567

Ⅱ例题精讲569

3二维均匀分布和二维正态分布571

Ⅰ考点精讲571

一、定义571

二、重要性质572

Ⅱ例题精讲573

4两个随机变量函数的分布574

Ⅰ考点精讲574

一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似574

二、二维连续型随机变量函数Z=g（X，Y）的分布的求法，可用公式574

三、重要性质575

Ⅱ例题精讲575

模考题训练576

模考题训练答案与提示579

第四章 随机变量的数字特征581

1随机变量的数学期望和方差581

Ⅰ考点精讲581

一、定义581

二、重要性质，公式582

Ⅱ例题精讲586

2矩、协方差和相关系数590

Ⅰ考点精讲590

一、定义590

二、重要性质、公式591

Ⅱ例题精讲592

模考题训练594

模考题训练答案与提示596

第五章 大数定律和中心极限定理599

Ⅰ考点精讲599

一、切比雪夫不等式599

二、依概率收敛599

三、切比雪夫大数定律599

四、伯努利大数定律600

五、辛钦大数定律600

六、棣莫弗—拉普拉斯定理600

七、列维—林德伯格定理600

Ⅱ例题精讲600

模考题训练602

模考题训练答案与提示603

第六章 数理统计的基本概念605

1总体、样本、统计量和样本数字特征605

Ⅰ考点精讲605

一、定义605

二、样本数字特征性质607

Ⅱ例题精讲607

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布608

Ⅰ考点精讲608

一、定义608

二、重要性质609

三、一个正态总体的抽样分布610

四、两个正态总体的抽样分布610

Ⅱ例题精讲611

模考题训练613

模考题训练答案与提示615

第七章 参数估计617

1点估计617

Ⅰ考点精讲617

Ⅱ例题精讲618

2估计量的求法和区间估计619

Ⅰ考点精讲619

一、矩估计法619

二、矩估计法步骤620

三、最大似然估计法620

四、似然方程620

五、区间估计621

Ⅱ例题精讲623

模考题训练625

模考题训练答案与提示627

第八章 假设检验629

Ⅰ考点精讲629

一、实际推断原理629

二、假设检验629

三、两类错误629

四、显著性检验630

五、正态总体参数的假设检验630

Ⅱ例题精讲631

模考题训练634

模考题训练答案与提示636