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第1章 变分分析的相关素材1

1.1 凸分析素材1

1.1.1 凸集合1

1.1.2 凸函数的闭包3

1.1.3 共轭函数5

1.1.4 次可微性8

1.2 集值映射的极限11

1.3 方向导数18

1.4 集合的切锥与二阶切集27

1.4.1 集合的切锥27

1.4.2 二阶切集35

1.4.3 函数水平集的切锥与二阶切集39

1.4.4 负卦限锥的切锥与二阶切集41

1.5 有限维系统的稳定性42

1.5.1 线性系统43

1.5.2 集合约束的线性系统45

1.5.3 集合约束的非线性系统47

第2章 无约束优化54

2.1 引言54

2.2 线搜索方法56

2.2.1 线搜索原则56

2.2.2 下降方法的收敛性58

2.3 最速下降方法61

2.3.1 最速下降方法的全局收敛性61

2.3.2 最速下降方法的收敛速度63

2.4 Newton法68

2.4.1 经典Newton法68

2.4.2 带线搜索的Newton法70

2.4.3 自协调函数的Newton法70

2.5 拟Newton法72

2.5.1 拟Newton方程和著名的拟Newton公式72

2.5.2 拟Newton法求解凸二次规划74

2.5.3 Dixon定理75

2.5.4 DFP方法的收敛性77

2.5.5 BFGS方法的收敛性83

2.5.6 限制Broyden类方法的收敛性87

2.6 共轭梯度方法94

2.6.1 共轭方向94

2.6.2 共轭梯度方法求解二次规划96

2.6.3 求解无约束优化问题的FR方法101

2.7 信赖域方法103

2.7.1 信赖域基本算法104

2.7.2 Cauchy点与模型下降105

2.7.3 信赖域算法的收敛性107

第3章 线性规划110

3.1 线性规划问题及其性质110

3.2 单纯形法114

3.3 Bland原则120

3.4 线性规划的对偶定理122

3.5 对偶单纯形方法124

3.6 线性规划的Karmarkar内点法127

3.6.1 解析中心与势函数127

3.6.2 线性规划的势函数131

3.6.3 线性规划的中心路径132

3.6.4 线性规划的Karmarkar算法135

第4章 对偶理论141

4.1 共轭对偶性141

4.2 Lagrange对偶性145

4.3 对偶理论的应用147

第5章 最优性条件155

5.1 一阶最优性条件155

5.2 广义Lagrange乘子157

5.3 二阶最优性条件158

第6章 增广Lagrange函数方法162

6.1 惩罚与障碍函数方法162

6.1.1 惩罚函数方法162

6.1.2 经典障碍函数方法168

6.2 增广Lagrange函数方法169

6.2.1 增广Lagrange函数169

6.2.2 Bertsekas的经典结果171

6.2.3 对偶收敛率175

第7章 序列二次规划（SQP）方法177

7.1 等式约束优化问题的局部方法177

7.1.1 Newton法177

7.1.2 KKT系统180

7.1.3 既约Hesse阵方法182

7.2 一般约束优化问题的局部方法186

7.2.1 序列二次规划方法186

7.2.2 原始-对偶二次收敛性188

7.2.3 原始超线性收敛性192

7.3 线搜索全局方法195

7.3.1 不可微惩罚函数195

7.3.2 线搜索SQP方法199

7.3.3 Maratos效应203

参考文献209