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第1章 复数1

1.1 复数的概念、运算及几何表示1

1.1.1 复数的概念及代数运算1

1.1.2 复数的几何表示、模与辐角2

1.1.3 复数的乘幂与方根7

1.2 复平面上的曲线和区域8

1.2.1 平面点集的一般概念8

1.2.2 曲线和区域8

1.3 复球面与无穷远点11

习题112

第2章 解析函数14

2.1 复变函数14

2.1.1 复变函数的概念14

2.1.2 复变函数的极限与连续15

2.2 解析函数的概念16

2.2.1 复变函数的导数16

2.2.2 解析函数及其性质17

2.3 柯西-黎曼方程18

2.4 初等解析函数21

2.4.1 指数函数21

2.4.2 对数函数22

2.4.3 幂函数24

2.4.4 三角函数与双曲函数25

2.4.5 反三角函数与反双曲函数27

习题229

第3章 复变函数的积分31

3.1 复积分的概念与计算31

3.1.1 复积分的概念31

3.1.2 复积分的计算32

3.1.3 复积分的基本性质34

3.2 柯西积分定理及推广35

3.2.1 柯西积分定理35

3.2.2 多连通区域的柯西积分定理37

3.3 解析函数的不定积分39

3.4 柯西积分公式41

3.5 解析函数的高阶导数43

3.5.1 高阶导数公式43

3.5.2 柯西不等式和刘维尔定理45

3.6 解析函数与调和函数的关系46

习题348

第4章 级数51

4.1 复数项级数与复变函数项级数51

4.1.1 复数序列与复数项级数51

4.1.2 复变函数项序列与复变函数项级数52

4.2 幂级数53

4.2.1 幂级数的敛散性53

4.2.2 幂级数收敛半径的求法55

4.2.3 幂级数的运算和性质55

4.3 泰勒级数57

4.3.1 解析函数的泰勒展式57

4.3.2 一些初等函数的泰勒展式59

4.4 解析函数的唯一性定理62

4.4.1 解析函数的零点及唯一性定理62

4.4.2 最大模原理63

4.5 罗朗级数64

4.6 解析函数的孤立奇点69

4.6.1 孤立奇点的分类69

4.6.2 函数在孤立奇点的性质70

4.6.3 函数在无穷远点的性质72

习题474

第5章 留数理论及其应用77

5.1 留数定理77

5.1.1 留数的定义及留数定理77

5.1.2 留数的求法79

5.1.3 函数在无穷远点处的留数81

5.2 应用留数计算定积分83

5.2.1 计算？R（cosθ，sinθ）dθ型积分84

5.2.2 计算？f（x）dx型积分85

5.2.3 计算？f（x）eiα xdx（α＞0）型积分87

5.2.4 积分路径上有奇点的情形89

5.2.5 一些其他类型的积分91

5.3 辐角原理和儒歇定理93

5.3.1 对数留数定理93

5.3.2 辐角原理94

5.3.3 儒歇定理95

习题597

第6章 保形映射99

6.1 保形映射的概念99

6.1.1 导数的几何意义99

6.1.2 单叶解析函数的映射性质101

6.1.3 保形映射的概念102

6.2 分式线性映射103

6.2.1 分式线性映射的分解104

6.2.2 分式线性映射的保形性105

6.2.3 分式线性映射的保圆性106

6.2.4 分式线性映射的保对称点性107

6.2.5 分式线性映射的保交比性108

6.2.6 两个重要的分式线性映射109

6.3 一些初等函数的映射111

6.3.1 幂函数与根式函数111

6.3.2 指数函数与对数函数112

6.3.3 儒可夫斯基函数113

6.3.4 复合映射举例115

6.4 施瓦兹-克里斯托菲公式118

习题6124

第7章 傅里叶变换127

7.1 傅里叶变换的概念127

7.1.1 傅里叶级数（有限傅里叶变换）127

7.1.2 傅里叶变换的定义130

7.2 广义傅里叶变换133

7.3 傅里叶变换的性质及应用136

7.3.1 傅里叶变换的基本性质136

7.3.2 卷积与卷积定理140

7.3.3 相关函数143

7.3.4 综合举例145

习题7149

第8章 拉普拉斯变换152

8.1 拉普拉斯变换的概念152

8.1.1 拉普拉斯变换的定义152

8.1.2 拉普拉斯变换存在定理153

8.2 拉普拉斯变换的性质及应用155

8.2.1 拉普拉斯变换的基本性质155

8.2.2 卷积与卷积定理160

8.2.3 拉普拉斯逆变换的计算162

8.2.4 拉普拉斯变换的应用165

习题8170

第9章 解析函数在平面场的应用172

9.1 用复变函数表示平面场172

9.2 复变函数在流体力学中的应用173

9.2.1 流量与环量173

9.2.2 平面稳定流动的复势及应用175

9.3 复变函数在静电场中的应用179

习题9182

习题答案与提示183

习题1183

习题2183

习题3185

习题4186

习题5188

习题6189

习题7190

习题8192

习题9193

附录 傅氏变换与拉氏变换简表194

参考文献202