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第1章　极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1　函数的概念1

1.1.2　函数的表示3

1.1.3　函数的性质4

1.1.4　函数的运算5

1.1.5　初等函数5

习题1.17

1.2　极限的概念7

1.2.1　数列的极限7

1.2.2　函数的极限9

1.2.3　关于极限的定理11

1.2.4　无穷小量与无穷大量11

习题1.213

1.3　极限的运算13

1.3.1　极限运算法则13

1.3.2　两个重要极限19

1.3.3　无穷小量的比较23

习题1.325

1.4　函数的连续性27

1.4.1　函数连续的概念27

1.4.2　连续函数的运算28

1.4.3 闭区间上连续函数的性质30

1.4.4　函数的间断点31

习题1.432

学法指导33

综合习题一35

第2章　导数与微分38

2.1　导数的概念38

2.1.1 案例分析38

2.1.2　导数的概念39

2.1.3　可导与连续41

2.1.4　常用函数的导数42

习题2.144

2.2　导数的运算44

2.2.1 导数的四则运算法则44

2.2.2　反函数求导法则46

2.2.3　复合函数的求导法则47

2.2.4　三个常用函数求导方法49

2.2.5　导数基本公式及求导法则52

2.2.6　高阶导数53

习题2.256

2.3 函数的微分及应用57

2.3.1 引例分析57

2.3.2　微分的概念58

2.3.3　微分的几何意义59

2.3.4　微分的运算法则59

2.3.5　微分的运算60

2.3.6　微分在近似计算中应用61

习题2.363

学法指导64

综合习题二66

第3章　导数的应用68

3.1 微分中值定理68

3.1.1　拉格朗日中值定理68

3.1.2　罗尔中值定理70

3.1.3　柯西中值定理71

习题3.172

3.2　洛必达法则72

3.2.1 0/0型或∞/∞型的极限72

3.2.2　可化为0/0或∞/∞型的0·∞型与∞-∞型的极限74

3.2.3 1∞型、00型、∞0型的极限76

习题3.278

3.3 函数的单调性与极值79

3.3.1 函数的单调性79

3.3.2　函数的极值81

3.3.3 函数的最值84

习题3.387

3.4 函数图形的凹向与拐点88

3.4.1 曲线的凹向性88

3.4.2　曲线的拐点90

3.4.3 曲线的渐近线91

3.4.4　描绘函数图形93

习题3.494

3.5 导数在实际问题中的应用95

3.5.1 导数在经济分析中的应用95

3.5.2　导数在工程技术中的应用97

习题3.5102

学法指导103

综合习题三104

第4章　不定积分107

4.1 不定积分的概念与性质107

4.1.1　不定积分的概念107

4.1.2　不定积分的性质109

4.1.3　基本积分公式110

习题4.1112

4.2　不定积分的积分法112

4.2.1　直接积分法112

4.2.2　换元积分法113

4.2.3　分部积分法119

习题4.2122

4.3 有理函数的积分123

4.3.1　有理函数的概念123

4.3.2　简单有理函数的积分125

4.3.3　可化为有理函数的积分127

习题4.3129

学法指导130

综合习题四131

第5章　定积分134

5.1　定积分的概念与性质134

5.1.1　实例分析134

5.1.2　定积分的概念136

5.1.3　定积分的几何意义137

5.1.4　定积分的性质138

习题5.1140

5.2　定积分的积分法140

5.2.1　变上限定积分141

5.2.2　微积分基本公式143

5.2.3 定积分的积分法144

习题5.2148

5.3　定积分的应用149

5.3.1 定积分应用的微元法149

5.3.2　定积分求平面图形的面积150

5.3.3　定积分求立体的体积153

5.3.4　定积分在物理上的应用156

5.3.5　定积分在经济中的应用158

习题5.3159

5.4　广义积分160

5.4.1　无穷区间上的广义积分——无穷积分160

5.4.2　无界函数的广义积分——瑕积分162

习题5.4165

学法指导165

综合习题五167

第6章 向量与空间解析几何171

6.1　空间直角坐标系与向量171

6.1.1　空间直角坐标系171

6.1.2 向量173

习题6.1178

6.2 向量的数量积与向量积178

6.2.1　两向量的数量积178

6.2.2　两向量的向量积181

习题6.2184

6.3 空间的平面与直线184

6.3.1 平面方程184

6.3.2　直线方程188

6.3.3　直线与平面之间的夹角192

习题6.3194

6.4　空间的曲面与曲线195

6.4.1 曲面方程195

6.4.2 曲线方程196

6.4.3　柱面方程197

6.4.4　旋转曲面方程198

6.4.5　常见的二次曲面199

习题6.4201

学法指导202

综合习题六204

第7章 多元函数的微分学207

7.1 二元函数的极限与连续207

7.1.1　二元函数的概念207

7.1.2　二元函数的极限210

7.1.3　二元函数的连续211

习题7.1213

7.2　二元函数偏导数与全微分213

7.2.1　偏导数213

7.2.2　全微分217

习题7.2220

7.3　复合函数与隐函数的微分法220

7.3.1 复合函数的微分法220

7.3.2　隐函数的微分法224

习题7.3227

7.4　多元函数的极值227

7.4.1 多元函数的极值227

7.4.2　多元函数的最值230

7.4.3　条件极值231

习题7.4233

学法指导233

综合习题七235

第8章　多元函数的积分学238

8.1　二重积分的概念与性质238

8.1.1　引例分析238

8.1.2　二重积分的概念239

8.1.3　二重积分的性质240

习题8.1243

8.2　二重积分的计算与应用243

8.2.1　直角坐标系下计算二重积分243

8.2.2　极坐标系下计算二重积分248

8.2.3　二重积分的应用251

习题8.2254

8.3 曲线积分的概念与计算254

8.3.1　第一类曲线积分——对弧长的曲线积分255

8.3.2　第二类曲线积分——对坐标的曲线积分258

习题8.3266

学法指导266

综合习题八268

第9章　无穷级数272

9.1　无穷级数的概念与性质272

9.1.1　无穷级数的概念272

9.1.2　无穷级数的性质275

习题9.1277

9.2　数项级数的敛散性277

9.2.1　正项级数及其敛散性277

9.2.2　任意项级数及其敛散性282

习题9.2285

9.3　幂级数及其敛散性286

9.3.1 函数项级数的概念286

9.3.2　幂级数及其收敛性286

习题9.3292

9.4　函数展开成幂级数293

9.4.1 泰勒级数293

9.4.2　函数展开成幂级数294

习题9.4299

学法指导299

综合习题九301

第10章　常微分方程304

10.1 微分方程的概念与可分离变量的微分方程304

10.1.1　微分方程的概念304

10.1.2　微分方程的解305

10.1.3　可分离变量的微分方程306

习题10.1309

10.2　齐次微分方程309

10.2.1　齐次微分方程的概念309

10.2.2　齐次微分方程的解法310

习题10.2314

10.3　一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程315

10.3.1 一阶线性微分方程315

10.3.2　可降阶的高阶微分方程318

习题10.3323

10.4　二阶常系数线性微分方程324

10.4.1 二阶常系数线性微分方程的概念324

10.4.2　二阶常系数线性微分方程解的性质324

10.4.3　二阶常系数齐次线性微分方程325

10.4.4　二阶常系数非齐次线性微分方程327

习题10.4330

学法指导331

综合习题十333

第11章　数学建模336

11.1 数学模型与数学建模336

11.1.1　模型与数学模型336

11.1.2　数学建模的意义336

11.1.3　数学建模的一般程序339

习题11.1（略）340

11.2　初等数学模型341

11.2.1　生日相重问题341

11.2.2　货包运输问题341

11.2.3　讨价还价中的数学问题342

11.2.4　架设电力线路问题343

习题11.2344

11.3　微分方程模型345

11.3.1 水瓶保温测试问题345

11.3.2 油画年代的鉴定346

11.3.3 人口模型347

11.3.4　第二宇宙速度348

习题11.3350

11.4　数学规划模型350

11.4.1　运输方案制定与线性规划350

11.4.2　动态规划和网络问题353

11.4.3 统筹法和工序安排优化问题354

习题11.4355

11.5　随机模型356

11.5.1　得分问题356

11.5.2　彩票中的随机模型357

11.5.3　期望寿命361

习题11.5363

学法指导363

综合习题十一364

第12章　数学软件Mathematica365

12.1　Mathematica概述365

12.1.1　Mathematica简介365

12.1.2　Mathematica的基本用法365

12.1.3　数　运算符　函数　变量　表达式366

12.1.4　Mathematica的代数运算369

习题12.1371

12.2　Mathematica在高等数学中的应用371

12.2.1 求函数的极限371

12.2.2　求函数的导数与微分372

12.2.3　求积分372

12.2.4　解微分方程373

12.2.5　求偏导数374

12.2.6　计算二重积分375

12.2.7　幂级数运算375

12.2.8　矩阵的运算376

12.2.9　解线性方程组378

12.2.10　解线性规划379

习题12.2380

12.3　Mathematica输入模板的使用382

习题12.3385

12.4　Mathematica作函数图像386

12.4.1　二维图形的绘制386

12.4.2　三维图形的绘制390

习题12.4392

学法指导392

综合习题十二394

附录A　常用函数及其图形397

附录B　数学常用公式400

附录C 习题答案与提示405

参考文献464