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第一章 自然数1

引言1

1．整数计算1

2．数系中的无限数 数学归纳法8

第一章补充 数论19

引言19

1．质数19

2．同余式28

3．毕氏数与菲玛最後定理35

4．欧几里得算术37

1．有理数47

引言47

第二章 数系47

2．不可通约量的线段，无理数及极限观念52

3．解析几何简介63

4．无限的数理解析67

5．复素数76

6．代数数与超越数88

第二章补充 集合代数93

第三章 几何作图 数体的代数101

引言101

第一部分 不可能性的证明与代数103

1．基本几何作图103

2．可作图的数与数体109

3．三个不可解的希腊问题115

第二部分 几个不同的作图方法120

4．几何变换 反演变换120

5．用其他工具的作图法 仅用圆规的Mascheroni作图法125

6．再论反演变换及其应用136

第四章 射影几何学 公理 非欧几何学145

1．引言145

2．基本概念147

3．交比151

4．平行性与无限大159

5．应用163

6．解析表示169

7．仅用直尺的作图问题173

8．圆锥曲线与二次曲面175

9．公设与非欧几何学190

附录 高度空间的几何学201

第五章 拓朴学207

引言207

1．多面体的Euler公式208

2．图形的拓朴性质212

3．拓朴定理的其他例子216

4．曲面的拓朴分类226

附录234

引言241

第六章 函数与极限241

1．变数与函数242

2．极限256

3．藉连续趋近求极限269

4．连续概念的精确定义275

5．有关连续函数的两基本定理277

6．Bolzano定理的一些应用281

第六章补充 有关极限与连续进一步的例题285

1．极限的例题285

2．连续的例题290

引言291

第七章 极大与极小291

1．初等几何学的问题292

2．极值问题的一般原理300

3．逗留点（Stationary point）与微分运算303

4．Schwarz的三角形问题307

5．Steiner的问题315

6．极值与不等式322

7．极值的存在：Dirichlet原理325

8．等周长的问题332

9．具有界限条件的极值问题 Steiner问题与等周长问题间的关连335

10．变分法337

11．极小值问题的实验解答及皂膜实验343

引言357

第八章 微积分学357

1．积分358

2．导数371

3．微分的技巧382

4．莱布尼兹的记号与“无限小”387

5．微积分学的基本定理389

6．指数函数与对数395

7．微分方程式405

第八章补充413

1．原理方面的问题413

2．大小之阶数419

3．无穷级数与无限积422

4．得自统计方法的质数定理431

附录：补述，问题与习题435

算术与代数435

解析几何436

几何作图441

射影与非欧几何学442

拓朴学443

函数，极限与连续445

极大与极小446

微积分学448

积分的技巧450

索引455