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前言1

第一章 预备知识1

1.1 Sobolev空间简介1

1.2 嵌入定理、迹定理3

1.3 有限元空间及其性质5

1.3.1 有限元空间5

1.3.2 插值逼近性质7

1.3.3 有限元逆性质8

1.4 椭圆边值问题的有限元逼近9

1.4.1 椭圆边值问题的适定性9

1.4.2 有限元逼近11

第二章 有限元Ritz-Volterra投影14

2.1 符号和不等式14

2.2 存在惟一性及L2和H1模逼近性质16

2.3 负模误差估计19

2.4 时间依赖型Green函数及其估计21

2.4.1 Green函数的定义21

2.4.2 Green函数的估计25

2.5 W1,p模稳定性和Lp（2≤p≤∞）模逼近性质38

2.6 广义Ritz-Volterra投影逼近42

第三章 抛物型积分-微分方程的有限元方法46

3.1 解的正则性理论46

3.2 半离散有限元逼近54

3.3 全离散有限元格式58

3.3.1 向后欧拉格式60

3.3.2 Crank-Nicolson格式63

3.4 全离散有限元格式的修正67

3.5 有限元解的长时间稳定性与误差估计71

第四章 某些发展型方程的有限元方法77

4.1 双曲型积分-微分方程77

4.2 Sobolev方程80

4.3 粘弹性方程82

4.4 Stokes型积分-微分方程85

4.4.1 问题及其有限元近似85

4.4.2 一个有限元投影逼近87

4.4.3 误差估计88

第五章 非线性问题的有限元逼近92

5.1 一个非线性投影逼近92

5.2 非线性抛物型积分-微分方程98

5.3 非线性双曲型积分-微分方程99

5.4 非线性Sobolev方程102

第六章 有限元超收敛性：一维问题106

6.1 有限元Ritz-Volterra投影的节点超收敛性107

6.2 抛物型积分-微分方程有限元逼近的节点超收敛性111

6.3 一维投影型插值及其超收敛性质117

6.3.1 一维投影型插值117

6.3.2 超收敛基本估计119

6.4 有限元逼近的函数和导数的超收敛点120

6.4.1 有限元Ritz-Volterra投影120

6.4.2 抛物型积分-微分方程122

6.5 导数小片插值恢复技术124

6.6 一个高精度的导数恢复公式127

6.6.1 导数恢复公式及其超收敛性质127

6.6.2 数值积分修正形式131

6.6.3 数值计算例132

第七章 有限元超收敛性：二维问题136

7.1 有限元Ritz-Volterra投影的超收敛性质136

7.2 抛物型积分-微分方程有限元逼近的超收敛性质139

7.3 二维投影型插值及其超收敛性质142

7.3.1 二维投影型插值142

7.3.2 超收敛基本估计144

7.3.3 对有限元逼近的应用150

7.4 线性有限元的导数恢复技术152

7.4.1 线性三角元152

7.4.2 双线性矩形元154

7.4.3 双线性四边形元156

7.5 双k次矩形元的导数小片插值恢复技术158

7.5.1 导数恢复公式及其超收敛性质158

7.5.2 奇数阶矩形元的导数恢复公式163

7.5.3 对有限元逼近的应用167

第八章 有限体积元方法171

8.1 基于有限体积元的Ritz-Volterra投影171

8.2 最优阶误差估计176

8.3 抛物型积分-微分方程的有限体积元方法182

8.4 最低的正则性条件：两个反例185

第九章 一阶双曲问题的间断有限元方法191

9.1 一阶双曲方程的间断有限元格式191

9.2 最优阶误差估计195

9.3 线性元的超收敛估计199

9.4 后验误差分析203

9.5 一阶正对称双曲方程组209

9.5.1 问题及其间断有限元格式209

9.5.2 误差分析211

9.5.3 后验误差估计212

9.6 非定常问题215

9.6.1 半离散间断有限元近似215

9.6.2 全离散间断有限元近似217

9.7 一阶正对称双曲组例219

参考文献224