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第一部分 数理逻辑3

第1章 命题逻辑3

1.1 命题的基本概念3

1.1.1 命题及分类3

1.1.2 逻辑联结词4

1.2 命题公式及类型6

1.2.1 命题公式及赋值6

1.2.2 命题公式类型与真值表8

1.3 命题公式的等价演算12

1.3.1 命题公式的等价式12

1.3.2 命题公式的等价演算14

1.3.3 等价演算的实例应用16

1.4 命题公式的范式及应用17

1.4.1 析取范式与合取范式17

1.4.2 主析取范式与主合取范式19

1.4.3 主范式的实例应用22

1.5 全功能逻辑联结词组24

1.6 命题公式的推理及证明25

1.6.1 推理基本定义26

1.6.2 推理的证明方法26

1.6.3 推理演算的实例应用30

习题131

第2章 谓词逻辑36

2.1 谓词逻辑基本概念36

2.1.1 谓词逻辑三要素36

2.1.2 多元谓词命题符号化38

2.2 谓词公式及类型40

2.2.1 谓词公式40

2.2.2 谓词公式的类型41

2.3 谓词公式的等价演算43

2.4 谓词公式的前束范式45

2.5 谓词公式的推理46

习题249

第二部分 集合论55

第3章 集合55

3.1 集合的基本概念55

3.1.1 集合与元素的基本概念55

3.1.2 集合与集合间的关系56

3.2 集合的运算58

3.3 集合中元素的计数62

习题366

第4章 二元关系与函数69

4.1 集合的笛卡儿积69

4.2 二元关系71

4.3 关系的性质76

4.4 关系的闭包80

4.5 等价关系与划分85

4.6 偏序关系88

4.7 函数的定义与性质90

4.8 函数的复合与反函数94

习题497

第三部分 图论部分103

第5章 图论103

5.1 图的基本概念103

5.1.1 图的定义及相关概念103

5.1.2 结点的度104

5.1.3 完全图和补图106

5.1.4 子图与图的同构107

5.2 图的连通性109

5.2.1 通路和回路110

5.2.2 图的连通性111

5.2.3 无向图的连通度112

5.3 图的矩阵表示113

5.3.1 无向图的关联矩阵114

5.3.2 有向图的关联矩阵114

5.3.3 有向图的邻接矩阵115

5.3.4 有向图的可达矩阵116

5.4 最短路径与关键路径116

5.4.1 问题的提出116

5.4.2 最短路径117

5.4.3 关键路径120

5.5 欧拉图与哈密顿图122

5.5.1 欧拉图122

5.5.2 哈密顿图125

5.6 平面图129

5.6.1 平面图的定义130

5.6.2 欧拉公式131

5.6.3 平面图着色134

习题5137

第6章 树141

6.1 树的性质141

6.2 生成树与最小生成树143

6.2.1 生成树143

6.2.2 最小生成树144

6.3 根树及其应用146

6.3.1 有向树146

6.3.2 根树的分类147

6.3.3 根树的应用149

习题6152

第四部分 代数系统157

第7章 排列组合157

7.1 两个基本法则157

7.2 排列与组合158

7.2.1 相异元素不允许重复的排列数和组合数158

7.2.2 相异元素允许重复的排列问题159

7.2.3 不尽相异元素的全排列160

7.2.4 相异元素不允许重复的圆排列161

7.2.5 相异元素允许重复的组合问题162

7.2.6 不尽相异元素任取r个的组合问题163

习题7167

第8章 代数系统168

8.1 二元运算及其性质168

8.2 代数系统概述173

习题8176

第9章 典型代数系统178

9.1 半群与独异点178

9.2 群的定义与性质181

9.2.1 群的定义181

9.2.2 Klein四元群182

9.2.3 群的直积182

9.2.4 群论中常用的概念或术语182

9.2.5 群中元素的n次幂183

9.2.6 群中元素的阶183

9.2.7 群的性质——群的幂运算规则184

9.2.8 消去律185

9.3 子群186

9.4 循环群与置换群187

9.5 陪集与拉格朗日定理189

9.6 同态与同构194

9.7 环与域199

9.8 格204

习题9212

参考文献216